Question

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是BC边上的一点，PE⊥BD,PF⊥AC,垂足分别为E,F，求证：PE+PF为定值（初二）

Answer 1

证明：因为三角形ABC，BCD，BPE,CPF,相互相似
所以BP/BD=PE/DC=PC/AC=PF/AB
PE/DC+PF/AB=BP/BD+PC/AC
又因为DC=AB，BD=AC
所以（PE+PF)/AB=(BP+PC)/AC
即PE+PF=（BP+PC)乘以（AB/AC）
BP+PC等于BC
所以可证PE加PF为定值

晕啊，困死俺了，俺很多东西不会打，你尽量看吧，我晕了，这题有很多方法，我就写中我最先想到的放法了，给俺分吧，俺好辛苦的，呜呜

Answer 2

矩形ABCD中，AB=6，BC=8
所以面积=48 BD，AC交于O
s三角形BOC=12
勾股定理AC=10
三角形BOC=BO*PE/2+CO*PF/2=12
PE+PF=24/5 是定值

Answer 3

证明：易得：△BEP∽△BCD，△CFP∽△CBA
∴BP/BD=PE/DC
PC/AC=PF/AB
假设BP=a，则 CP=8-a,
经计算，有PE=3a/5，PF=(24-3a)/5
所以，PE+PF=24/5为定值

Answer 4

过C作CM垂直于BD垂足为M,过P作PF垂直于CM垂足为N，易得四边形PNME为矩形，则MN=PE,由PC=CP,易得直角三角形CPN全等于直角三角形CPF,所以CN=PF,则有PE+PF=MN+CN=CM(定值）即为三角形BCD斜边上的高

Answer 5

因为PE⊥BD,PF⊥AC，矩形ABCD，
所以三角形BPE相似于三角形ABD。三角形FPC相似于三角形ACD
设pc长为a.ep长为y , fp长为x
(8-a)/10=y/6
y=(48-6a)/10
a/10=x/6
x=3/5a
x+y=4.8