Question

一道不等式求最大值的数学题

已知函数f（x）=x^2+ax+3-a，若x属于[-2，2]时，f(x)大于等于2恒成立，求a的取值范围

Answer 1

可以用求最值的方法 应该这样分类

f(x)=x²+ax+3-a
对称轴 x=-a/2
(1)若-a/2<-2 a>4
f(x)min=f(-2)=7-3a≥2 a≤ 5/3
综合一下 没有交集 这种情况不存在
(2)若-2≤-a/2<2 -4<a≤ 4
f(x)min=f(-a/2)≥2 -4<a≤2√2-2
(3)若a≤-4
f(x)min=f(2)=7+a≥2 a≥-5
所以 -5 ≤a≤-4

Answer 2

f(x)=x^2+ax+3-a
=(x+a/2)^2 +3-a-a^2/4
顶点坐标 [-a/2,(3-a-a^2/4)]
因为当x∈[-2,2]时,f≥0恒成立
讨论
1, 当-a/2<=-2 时 (a>=4)
f最小值= f(-2)=4-2a+3-a>=0 算得 a<=7/3 矛盾,舍去
2,当 -2<-a/2<2时 (-4<a<4)
f最小值=顶点纵坐标=3-a-a^2/4>=0 算得 -6<=a<=2
合并得 -4<a<=2
3,当-a/2>=2 时 (a<=-4)
f最小值= f(2)=4+2a+3-a>=0 算得 a>=-7
合并得 -7≤a≤-4

综合 1,2,3, 实数a的取值范围 是 -7≤a≤2

Answer 3

-5≤a≤(2√2)-2.