Question

空间向量 - 求平面的法向量

一题目中,已求得三个点的坐标,在求法向量的时候遇到问题:

B(2,2,0)
C(2,0,0)
E( 1 , 0 , 根号3 )
求平面BCD的法向量.

我的做法是设v=(x,y,z)为平面BCD的法向量
根据
BE=(1,2,-根号3)
CE=(-1,0,根号3)
得到两个式子
x+2y-(根号3)z=0
-1x+0y+(根号3)z=0

但解出的结果是法向量y可以取任意值???
觉得这不太可能.

是我算错了? 还是应该用别的什么方法?
谢谢.

Answer 1

直接法：
找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。待定系数法：建立空间直角坐标系。
①设平面的法向量为n=（x，y，z）。
②在平面内找两个不共线的向量a和b。
③建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。
④解方程组，取其中的一组解即可。
法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

Answer 2

你的计算没问题，法向量与平面垂直，在解题时只需要方向而不需要大小（即不需要向量的长度）
所以x+2y-(根号3)z=0 x+2y-√3z=0
-1x+0y+(根号3)z=0 x=√3z
令x=√3 ,则z=1 y=0
法向量=(√3,0,1)

Answer 3

得到的两个式子相加 y应该等于0
BE向量应该用E坐标减去B坐标 你有写错 但是不影响结果啦