Question

基本不等式问题

在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为a的扇形,使剩下部分围成一个圆锥,a为何值时圆锥的容积最大?
答案a＝2*pi*(1-√6/3）要求用不等式求解

Answer 1

在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为a的扇形,使剩下部分围成一个圆锥,a为何值时圆锥的容积最大?
解:设所围园锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么有等式：
V=(1/3)πr²h.......................(1)
其中r=R(2π-α)/2π=R(1-α/2π)，h=√(R²-r²)，代入（1）式得：
V=(1/3)πR²(1-α/2π)²√(R²-r²)=(1/3)πR³(1-α/2π)²√[1-(r/R)²]=(1/3)πR³(1-α/2π)²√[1-(1-α/2π)²]
=(1/3)πR³√{(1-α/2π)⁴[1-(1-α/2π)²]}=(1/3)πR³√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[1-(1-α/2π)²]}
=(1/3)πR³(1/√2)√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]}
=(√2/6)πR³√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]}≤(√2/6)πR³√[(2/3)³]=(2√3/27)πR³
当且仅仅当(1-α/2π)²=2-2(1-α/2π)²，即(1-α/2π)²=2/3，1－α/2π=√6/3，α=2π(1-√6/3)时等号
成立。
其中应用了基本不等式：
(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]≤{[(1-α/2π)²+(1-α/2π)²+[2-2(1-α/2π)²]/3}³=(2/3)³

Answer 2

剩下部分围成圆锥的底面半径r=（2πR-αR)/2π=[（2π-α）/2π]R，暂记为KR，这里K=(2π-α)/2π。
圆锥的高H²=R²-r²=R²-K²R²=R²(1-K²），所以H=R√（1-K²），
圆锥的容积V=(π/3)(KR)²R√(1-K²)=(πR³/3)K²√(1-K²)。
为利用平均值不等式求V的最大值，可考虑求2V²的最大值。2V²=2(πR³/3)²K²K²(1-K²)
=（πR³/3)²K²K²(2-2K²)，式中含变量K的部分可看做3项的积，它们的和K²+K²+(2-2K²）=2为常数，据平均值不等式，当K²=K²=2-2K²=2/3时，即当K=√6/3时2V²有最大值，因而V有最大值。
由（2π-α)/2π=√6/3解出α=2π（1-√6/3）。