Question

已知函数f(x)=Asin(2x+φ) (A>0,0<φ<π),若对任意x∈R的最大值是1，其图像经过点M(π/6,√3/2)。（1）求

及函数的值域
（2）f（x）的单调增区间
（3）函数f（x）的图像经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数

Answer 1

(1) 显然A＝1
将点M(π/6,√3/2)带入得√3/2＝sin(π/3+φ) 解得φ=π/3
所以 f(x)=sin(2x+π/3)
显然其值域为[-1,1]
(2)根据2kπ+π/2<2x+π/3<2kπ+3π/2
得单调递增区间 (kπ+π/12,kπ+7π/12), k为整数
(3)根据2x+π/3=kπ, k为整数
得 x=(k/2-1/6)π
所以将f(x)向左平移(k/2-1/6)π对应的函数称为奇函数

Answer 2

解：由已知，f(x)=Asin(2x+φ) (A>0,0<φ<π),若对任意x∈R的最大值是1，
可得，A=1（A>0，所以A不为-1）所以f(x)=sin(2x+φ)
又因为，其图像经过点M(π/6,√3/2)，所以有f(π/6)=sin(π/3+φ)=√3/2
所以π/3+φ=2kπ+π/3，或者，π/3+φ=2kπ+2π/3，
解得φ=2kπ，或者，φ=2kπ+π/3，又已知0<φ<π，显然，可得φ=π/3
所以，f(x)=sin(2x+π/3）
（1）f(x)=sin(2x+π/3），显然，其值域为[-1, 1]
（2）单调增区间为：2kπ-π/2<2x+π/3<2kπ+π/2，求得kπ-5π/12<x<kπ+π/12
（3）f(x)=sin(2x+π/3)=sin[2(x-π/6)]，此函数图像是将奇函数f(x)=sin2x的图像右平移了π/6个单位，因此，只需要将此函数的图像向左平移π/6个单位，即得奇函数f(x)=sin2x的图像。

PS：如果题目是让求平移得到偶函数的图像，则为下解，
f(x)=sin(2x+π/3)=cos[π/2-(2x+π/3)]=cos(π/6-2x)=cos(2x-π/6)=cos[2(x-π/12)]
显然，f(x)=sin(2x+π/3)=cos[2(x-π/12)]，
是将偶函数f(x)=cos2x的图像向右平移了π/12个单位，
因此，只需要将f(x)=sin(2x+π/3)=cos[2(x-π/12)]的图像向左平移π/12
即得到f(x)=cos2x的图像，即为偶函数