Question

一道数学分析的题目

求此数列极限。
求此数列极限

Answer 1

1，=lim(1+2+3+....+n)/n^2=1/2
sink/n^2=k/n^2+O(1/n^2)
2，当然你也可以用（夹逼定理）来求
x-1/6x^3<sinx<x
则那个(1+2+3+....+n)/n^2-1/6(1^3+2^3+3^3+....+n^3)/n^6<sin1/n^2+.....+sinn/n^2<(1+2+3+....+n)/n^2
因为1^3+2^3+3^3+....+n^3=[n(n+1)/2]^2
lim(1+2+3+....+n)/n^2=1/2
lim(1+2+3+....+n)/n^2-1/6(1^3+2^3+3^3+....+n^3)/n^6=1/2
故sin1/n^2+.....+sinn/n^2=1/2
3,你也可以用和差化积法（如果会），乘以sin1/n^2,除以sin1/n^2

Answer 2

∵lim sinx/x =1(x->0), ∴ sin(k/n^2)=k/n^2+o(k/n^2)=k/n^2+o(1/n) (n->+∞)
∴sin(1/n^2)+sin(2/n^2)+……+sin(n/n^2)=1/n^2+2/n^2+……+n/n^2+n*o(1/n)=(n+1)/2n+o(1)
∴lim [ sin(1/n^2)+sin(2/n^2)+……+sin(n/n^2) ]=1/2 (n->+∞).

Answer 3

1/2