Question

题目是：已知向量OA=(K,12),向量OB=(4,5),向量OC=(-K,10),且 A,B,C三点共线，则K=_____.

题目解答中有OC=λ1OA+λ2OB (OA,OB,OC为向量）。我不懂的是为什么λ1+λ2=1请高手帮忙解答

Answer 1

向量OA、OB、OC，设OA=λ1OB＋λ2OC。则λ1＋λ2=1等价于A、B、C三点共线。证明如下：
λ1=1－λ2，代入，有OA=λ1OB＋(1－λ1)OC，即：OA－OC=λ1(OB－OC)，CA=λ1CB，即CA与CB共线，也就是点A、B、C一直线。

Answer 2

向量BA=向量OA-向量OB=（k-4,7）
向量CA=向量OA-向量OC=(2k,2)
ABC共线，得BA=λCA，即（k-4,7）=λ(2k,2)
所以λ=7/2,则k-4=λ*2k=7k
k=-2/3

Answer 3

主要是A,B,C三点共线 假设OC=λ1OA+λ2OB 证明λ1+λ2=1
如果λ1+λ2=X 则 OC=（X-λ2）OA+λ2OB 即 OC=XOA+λ2AB
则（1-X）OC+XAC=λ2AB 即AB=（1-X）/λ2OC+X/λ2AC
A,B,C三点共线 则AB=λAC 即（1-X）/λ2=0 X/λ2=λ
故解得X＝1即λ1+λ2=1