Question

菱形ABCD中，角B等于60度，点E和F分别在BC和CD上，且角AEF等于60度，求证AE等于EF

Answer 1

由菱形，当角B＝60度时，角DAB＝角C＝120度
由角AEF＝60度，在直线BEC上，角CEF+角AEB＝120度。
在三角形ABE中，角B＝60度，所以角AEB+角BAE＝120度，所以角CEF＝BAE。
同理可证：角CFE＝角DAF。
在三角形CEF中，角C＝120度，即角CEF+角CFE＝60度
也就是角BAE+角DAF＝60度
角EAF＝120－60＝60度。
所以三角形AEF是一等边三角形，AE＝EF

追问

那个角AFE没说60度，怎么能同理可证角CFE＝角DAF，要是角AFE等于60度又何必去证角EAF等于60度了哟

追答

我搞错了。

非常简单的一个方法：
连接AC。由ABCD是菱形，角ACE＝60度。
由角AEF＝角ACD＝60度，所以AECF四点共圆。
因此角AFE＝角ACE＝60度。
所以，在三角形AFE中，角EAF＝60度，因此AFE是等边三角形，AE=EF。
（注，以上知识要用到圆的内容：同一弧所对应的圆周角相等。不知初二学了没有。）

另一个方法：
连接AC。由ABCD是菱形，角ACD＝60度，AC＝AB。
在CD上取G点，使CG＝BE。连接AG。三角形ACG与三角形ABE全等（边角边）。
所以，AG=AE，角CAG＝角BAE，两边同加上角CAE，所以角EAG＝角BAC＝60度。
在等腰三角形AGE中，角EAG＝60度，所以角AEG＝60度，三角形AEG为等边三角形。
依题义，角AEF＝60度，F与G一样都是CD上的点，所以F与G重合。
即三角形AEF为等边三角形，AE＝EF，得证。

Answer 2

答
EF与AC交于O点
因为角AOE=角FOC,角AEF=角OCF,所以三角形FOC与三角形AOE相似,OC/OE=CF/AE
因为角BAE+角EAC=6O度=角CFE+角FEC,所以角FEC=角BAE,又因为角ABE=角OEC，所以三角形ABE与三角形EOC相似,OC/BE=OE/AE
得BE=CF,所以三角形ABE与三角形ACF相同，即AE=AF,所以AE=EF

追问

能不用相似证么？初二还没学相似啊

追答

在CD上取一点H,使得DH=BE，所以CH=CE，角CHE=角CEF=30°
又因为角ADH=角ABE，所以三角形ADH全等于三角形ABE，即AH=AE，所以角AHE=角AEH
在四边形AHCE中，角HCE=120°，所以角EAH=60°
所以三角形AEH为等边三角形，即角AEH=60°
因为角AEF等于60°，且H点和F点在直线CD上，所以H点与F点重合
即AE=EF