Question

在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

1.当直线MN绕点C旋转到 图①的位置时，求证：①△ACD≌△CEB；②DE=AD+BE；
2.当直线MN绕点C旋转到 图②的位置时，求证：DE=AD-BE.

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC与△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；

2.（2）证明：∵在△ADC与△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

Answer 2

1、
∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

又∵AC⊥BC

∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°

又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°

∴∠BCE=∠CAD

∴在△ADC和△CEB中

∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB

∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴AD=CE，CD=BE

∴DE=CE+CD=AD+BE

2、
∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠AEB=90°

又∵AC⊥BC

∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°

又∵∠CBE+∠BCE=90°

∴∠ACD=∠CBE

在△ACD和△CBE中

∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠AEB，AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴AD=EC，CD=EB

∴ED=CE-CD=AD-EB