Question

已知三阶矩阵的特征向量和特征值

见图。第二小题怎么解？是根据PAP^(-1)=B，然后求A^n，再乘以那个b向量？为什么我算出来的又和答案不一样。。。痛苦

Answer 1

不要, 那样就麻烦了!
由(1)得 b = k1a1 + k2a2 + k3a3
两边左乘A得
Ab = k1Aa1 + k2Aa2 + k3Aa3
= k1a1 + 2k2a2 + 3k3a3
同样的道理 再两边左乘A得
A^2b = k1Aa1 + 2k2Aa2 + 3k3Aa3
= k1a1 + 2^2k2a2 + 3^2k3a3

所以 A^nb = k1a1 + n^2k2a2 + n^2k3a3

把(1)得到的系数代入就行了, 你先试试, 看看和答案是否一样, 有问题再消息我或追问

Answer 2

不是这样的。应该是根据其特征向量全部不为0知其一定可以相似对角化，即PAP^(-1)=B,B为对角阵，后可知A=P^(-1)BP，于是A^n=(P^(-1)BP)^n*b=P^(-1)B^nP*b。B为对角阵，其n次方为其对角元素各自n次方。