Question

如图 在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D,E,F.

(1)CA×CE与CB×CF相等吗？为什么？
(2)连接EF交CD于点O,线段OC,OD,OE,OF成比例吗？

Answer 1

解：
1）因为DE⊥AC,DF⊥BC，
所以C,E,D,F四点在以CD为直径的同一个圆上，
所以∠FEC=∠FDC,
又∠FDC+∠BDF=90,
∠BDF+∠B=90,
所以∠FEC=∠B,
所以A,B,E,F四点共圆（外角等于内对角的四边形共圆），
所以CE*CA=CF*BC(切割线定理)
即CA×CE=CB×CF

2）因为C,E,D,F四点在以CD为直径的同一个圆上，
所以由相交弦定理，得
OD*OC=OE*OF,
即OD/OE=OF/OC
所以线段OC,OD,OE,OF成比例