一道类比定理的数学题,急求解
还已知平面几何中有勾股定理,若直角三角形abc的两边ab,ac互相垂直,则三角形的三边长满足ab+ac=bc,类比上述定理,若三棱锥s-abc的三个侧面sab,sac,s...
还已知平面几何中有勾股定理,若直角三角形abc的两边ab,ac互相垂直,则三角形的三边长满足ab+ac=bc,类比上述定理,若三棱锥s-abc的三个侧面sab,sac,sbc两两互相垂直,则其面积之间有什么关系?
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设三棱锥为O-ABC,AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO,
AO=a,BO=b,CO=c,在平面ABC内,过A作AD⊥BC,连接OD,
则OD是AD在平面OBC的射影,所以OD⊥BC,AO⊥OD。
在直角三角形AOD中,由勾股定理有:a^2+OD^2=AD^2,
在直角三角形BOC中,由勾股定理有:b^2+c^2=BC^2。
所以 1/4*BC^2*(a^2+OD^2)=1/4*BC^2*AD^2=(1/2*AD*BC)^2,
即 1/4*(b^2+c^2)*a^2+1/4*BC^2*OD^2=(1/2*AD*BC)^2,
(1/2*ab)^2+(1/2ac)^2+(1/2*OD*BC)^2=(1/2*AD*BC)^2,
即侧面OAB的面积,侧面OAC的面积,侧面OBC的面积之平方和
等于底面的面积的平方。
AO=a,BO=b,CO=c,在平面ABC内,过A作AD⊥BC,连接OD,
则OD是AD在平面OBC的射影,所以OD⊥BC,AO⊥OD。
在直角三角形AOD中,由勾股定理有:a^2+OD^2=AD^2,
在直角三角形BOC中,由勾股定理有:b^2+c^2=BC^2。
所以 1/4*BC^2*(a^2+OD^2)=1/4*BC^2*AD^2=(1/2*AD*BC)^2,
即 1/4*(b^2+c^2)*a^2+1/4*BC^2*OD^2=(1/2*AD*BC)^2,
(1/2*ab)^2+(1/2ac)^2+(1/2*OD*BC)^2=(1/2*AD*BC)^2,
即侧面OAB的面积,侧面OAC的面积,侧面OBC的面积之平方和
等于底面的面积的平方。
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