Question

若在区间(-1 1)上f(x)=x^3-ax+1≥0恒成立 求A的范围

Answer 1

f(x)=x^3-ax+1≥0恒成立
可以认为在区间(-1 1)上f(x)最小值为0
f‘=3x^2-a
讨论：
① a=0时 fmin=f(-1)=0 满足题意

②a<0时 f恒为增函数 fmin=f(-1)=a <0 不符合题意

③a>0时
x>根号（a/3) 为增函数；
x<-根号（a/3) 为减函数
根据函数性质：为保证最小值为0：
只需f(1)>=0 且 f(根号（a/3))>=0
解不等式得到：
0<a<=2
0<a<=3/(4^(1/3))
故 0<a<=3/(4^(1/3))

综上所述： 0=<a<=3/(4^(1/3))

Answer 2

f'(x)=3x^2-a
a=0时 fmin>f(-1)=0 满足题意
a<0时 f(x)在区间(-1 1)上为增函数 fmin=f(-1)=a <0不符合题意
a>0时，若a≥3,f'(x)≤0,f(x)在区间(-1 1)上为减函数，fmin=f(1)=2-a <0不符合题意
若0<a<3,则f(-1)=a>0,f(√(a/3))=1-2a/3*√(a/3)≥0,a≤(3³√2)/2)/2
故0≤a≤(3³√2)/2)/2

Answer 3

x³－ax＋1≥0，即ax≤x³＋1.
1、若x=0，则a可以取一切实数；
2、若x>0，则a≤x²＋1/x，而函数g(x)=x²＋1/x=x²＋1/(2x)＋1/(2x)≥3[³√(1/4)]，则a≤3[³√(1/4)]；
3、若x<0，则a≥x²＋1/x，函数g(x)=x²＋1/x在区间[－1，0]上是递减的，则a≥g(－1)=0，即a≥0。
综合下，有：0≤a≤3[³√(1/4)]。

Answer 4

（1)1>x>0时，化为x3+1>=ax, x^2+1/x>=a
又 x^2+1/x=x^2+1/2x+1/2x>=3(x^2*1/2x*1/2x)^(1/3)=1.5* 2^(1/3) ，等号在x=1/2^(1/3)<1取到
所以 1.5* 2^(1/3) >=a
(2)-1<x<0时， 化为x^2+1/x<=a ,y'=2x-1/x^2<0 所以 x^2+1/x是（-1,0）的减函数，
所以 x^2+1/x)最大=1+1/(-1)=0 即a>=0 ,
总之 1.5* 2^(1/3) >=a>=0 ,