Question

2011高考数学考纲 江苏

cxboaida@qq.com

Answer 1

2011年江苏省高考说明
数学科
一、命题指导思想
根据普通高等学校对新生文化素质的要求，20011年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程实验版）》，结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.
突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点．注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查．
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空问想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力．
(1)空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系， 并能够对空间图形进行分解和组合．
(2)抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断．
(3)推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性．
(4)运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.
(5)数据处理能力考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题．
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题．
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决．
创新意识的考查要求是：能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题。
二、考试内容及要求
数学试题由必做题与附加题两部分组成．选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答．必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列l的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2(不含选修系列1)中的内容以及选修系列4中专题4—1《几何证明选讲》、4—2《矩阵与变换》、4—4《坐标系与参数方程》、4—5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题)．
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示)．
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．
具体考查要求如下：
1 必做题部分
内 容 要 求
A B C

1．集合 集合及其表示 √
子集 √
交集、并集、补集 √

2.函数概念与基本初等函数I 函数的概念 √
函数的基本性质 √
指数与对数 √
指数函数的图象和性质 √
对数函数的图象和性质 √
幂函数 √
函数与方程 √
函数模型及其应用 √

3基本初等函数Ⅱ
（三角函数）、 三角恒等变换
三角函数的有关概念 √
同角三角函数的基本关系式 √ 0
正弦、余弦的诱导公式 √
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 √
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 √
两角和(差)的正弦、余弦及正切 √
二倍角的正弦、余弦及正切 √
积化和差、 和差化积、半角公式 √
4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √

5．平面向量 平面向量的概念 √
平面向量的加法、减法及数乘运算 √
平面向量的坐标表示 √
平面向量的数量积 √
平面向量的平行与垂直 √
平面向量的应用 √

6．数列 数列的概念 √
等差数列 √
等比数列 √

7．不等式 基本不等式 √
一元二次不等式 √
线性规划 √

8．复数 复数的概念 √
复数的四则运算 √
复数的几何意义 √

9．导数及其应用 导数的概念 √
导数的几何意义 √
导数的运算 √
利用导数研究函数的单调性和极值 √
导数在实际问题中的应用 √

续表
内 容 要求
A B C

10．算法初步 算法的含义 √
流程图 √
基本算法语句 √

11．常用逻辑用语 命题的四种形式 √
充分条件、必要条件、充分必要条件 √
简单的逻辑联结词 √
全称量词与存在量词 √
12．推理与
证明
合情推理与演绎推理 √
分析法与综合法 √
反证法 √

13．概率、统计 抽样方法 √
总体分布的估计 √
总体特征数的估计 √
变量的相关性 √
随机事件与概率 √
古典概型 √
几何概型 √
互斥事件及其发生的概率 √
14.空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体 √
柱、锥、台、球的表面积和体积 √
15.点、线、面之间的位置关系 平面及其基本性质 √
直线与平面平行、垂直的判定及性质 √
两平面平行、垂直的判定及性质 √

16．平面解析
几何初步 直线的斜率与倾斜角 √
直线方程 √
直线的平行关系与垂直关系 √
两条直线的交点 √
两点间的距离，点到直线的距离 √
圆的标准方程和一般方程 √
直线与圆、圆与圆的位置关系 √
空间直角坐标系 √
17．圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 √
中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √

2：附加题部分
内容 要 求
A B C
选修系列2：不含选修系列
1
中的内容 1．圆锥曲线与方程
曲线与方程 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √
2．空间向量
与立体几何
空间向量的概念 √
空间向量共线、共面的充分必要条件
条件 √
空间向量的加法、减法及数乘运算 √
空间向量的坐标表示 √
空间向量的数量积 √
空间向量的共线与垂直 √
直线的方向向量与平面的法向量 √
空间向量的应用 √
3．导数及其应用 简单的复合函数的导数 √
定积分 √
4．推理与证明 数学归纳法的原理 √
数学归纳法的简单应用 √

5．计数原理 加法原理与乘法原理 √
排列与组合 √
二项式定理 √

6．概率统计 离散型随机变量及其分布列 √
超几何分布 √
条件概率及相互独立事件 √
n次独立重复试验的模型及二项分布 √
离散型随机变量的均值与方差 √
选修系列
4
中含
4
个专题

7．几何证明选讲 相似三角形的判定与性质定理 √
射影定理 √
圆的切线的判定与性质定理 √
圆周角定理，弦切角定理 √
相交弦定理、割线定理、切割线定理 √
圆内接四边形的判定与性质定理 √

8．矩阵与变换 矩阵的概念 √
二阶矩阵与平面向量 √
常见的平面变换 √
矩阵的复合与矩阵的乘法 √
二阶逆矩阵 √
二阶矩阵的特征值和特征向量 √
二阶矩阵的简单应用 √

9．坐标系与参数方程 坐标系的有关概念 √
简单图形的极坐标方程 √
极坐标方程与直角坐标方程的互化 √
参数方程 √
直线、圆及椭圆的参数方程 √
参数方程与普通方程的互化 √
参数方程的简单应用 √

10．不等式选讲 不等式的基本性质 √
含有绝对值的不等式的求解 √
不等式的证明(比较法、综合法、分析法) √
算术-几何平均不等式、柯西不等式 √
利用不等式求最大(小)值 √
运用数学归纳法证明不等式 √

三、考试形式及试卷结构
(一)考试形式
闭卷、笔试．试题分必做题和附加题两部分．必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟．
(二)考试题型
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成．其中填空题14题，约占70分；解答题6题，约占90分．
2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2小题，考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4—1、4—2、4—4、4—5这4个专题的内容，考生从中选2题作答．
填空题只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(三)试题难易比例 ．
必做题部分由容易题、中等题和难题组成. 容易题、中等题和难题在试题中所占分值的比例大致为4：4：2．
附加题部分由容易题、中等题和难题组成．容易题、中等题和难题在试题中所占分值的比例大致为5：4：1．

四、典型题示例
A.必做题部分
1. 函数y=Asin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）
在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ．

【解析】本题主要考查三角函数的图象与周期,本题属于容易题.
【答案】3.
2. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．
【解析】本题主要考查古典概型,本题属于容易题.
【答案】.
3.若是虚数单位)，则乘积的值是
【解析】本题主要考查复数的基本概念,本题属于容易题.
【答案】-3
4.设集合，则集合A中有 个元素.
【解析】本题主要解一元二次不等式、集合的运算等基础知识,本题属于容易题.
【答案】6
5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W= ．
【解析】本题主要考查算法流程图的基本知识,本题属于容易题.
【答案】22
6．设直线是曲线的一条切线，
则实数b= .
【解析】本题主要考查导数的几何意义,切线的求法,本题属于中等题.
【答案】.
7．在直角坐标系中,抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为 ．
【解析】本题主要考查中点坐标公式,抛物线的方程等基础知识,本题属于中等题.
【答案】
8.以点(2,-1)为圆心且与直线相切的圆的方程是 ．
【解析】本题主要考查圆的方程,以及直线与圆的位置关系等基础知识,本题属于中等题.
【答案】

9.已知数列{}的前项和，若它的第项满足，则 ．
【解析】本题主要考查数列的前n项和与其通项的关系,以及简单的不等式等基础知识,本题属中等题.
【参考答案】
10．已知向量，若与垂直，则实数的值为________.
【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加减数乘及数量积的运算等基础知识,本题属中等题.
【答案】
11．设是
【解析】本题主要考查代数式的变形及基本不等式等基础知识,本题属中等题.
【答案】3
12.满足条件的三角形的面积的最大值是_______________.
【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.
【答案】
二、解答题
13．在ABC中，C－A=, sinB=.
（1）求sinA的值；
(2)设AC=，求ABC的面积.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力.本题属容易题.
【参考答案】（1）由，且，
∴，∴，
∴，又，∴
（2）如图，由正弦定理得
∴，又

∴

14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C．
求证：（1）EF‖平面ABC；
（2）平面A1FD平面BB1C1C．

【解析】本题主要考查线面平行、面面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.本题属容易题.
【参考答案】
（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF‖BC，又EF平面ABC，BC平面ABC，
∴EF‖平面ABC；
（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，，
∵A1D平面A1B1C1，∴．
又，BB1B1C=B1，∴．
又，所以平面A1FD平面BB1C1C．
15. 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程‘
(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，
（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

【解析】本题主要考查解析几何中的一些基本内容及基本方法,考查运算求解的能力.本题属中等题.
【参考答案】（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
{ 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故 ①
由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16.设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线及直线所围成的三角形的面积是一个(与无关的)定值,并求此定值.
【解析】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算以及直线方程等基础知识，考查运算求解的能力，推理论证能力.本题属中等题.
【参考答案】（I）方程可化为.
当时，.
又.
于是解得
故.
(II)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为
,
即.
令得,从而得切线与直线的交点坐标为.
令得,从而得切线与直线的交点坐标为.
所以点处的切线与直线,所围三角形的面积为
.
故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定
值，此定值为6.

17.（1）设是各项均不为零的n（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时,求的数值;②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
【解析】本题以等差数列等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力.本题属难题.

【参考答案】首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0.
事实上，设这个数列中的连续三项a- d0，a，a+ d0成等比数列，则

由此得d0=0.
（1）（ⅰ）当n=4时,由于数列的公差，故由基本事实只可能删去或，
若删去，则由成等比数列，得，因，故由上式得 ，即。此时，数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设.
若删去，则成等比数列，得.
因，故由上式得，即.此时，数列为d，2d，3d，4d，满足题设.
综上，得或.
（ii）当n≥6时，则从满足题设的数列中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列的公差必为0，这与题设矛盾。所以满足题设的数列的项数。又因题设，故n=4或5
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列
当n=5时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故
，及.
分别简化上述两个等式，得及，故d=0,矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列.
综上可知，n只能为4.
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中三项成等比数列，这里，则有
，
化简得 （*）
由知，与或同时为0，或同时不为0。
若，且，则有，
即，得，从而，与题设矛盾.
因此，与同时不为0，所以由（*）得

因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数.
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，则相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如取，那么，n项数列1，，，……，满足要求.

B 附加题部分

1.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【解析】
【参考答案】

（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
故的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得
所以三等品率最多为
2. 如图，已知点在正方体的
对角线上，记,当为钝角时,求的取值范围.
2.解(1/3,1)

3．选修4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．
【解析】
【参考答案】证明：如图，因为 是圆的切线，
所以，,
又因为是的平分线，
所以
从而
因为 ,

所以 ,故.
因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,
,
而,所以
4．选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为求在矩阵作用下所得到的图形的面积，这里矩阵。
【解析】
【参考答案】.1
5. 选修4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
【解析】

本题主要考查曲线的参数方程的基本知识，考查运用参数方程解决数学问题的能力.
【参考答案】因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为，其中.
因此
所以，当时，取最大值2.
6. 选修4—5:不等式选讲
设求证:
【解析】
【参考答案】