Question

在直线y=x-2上是否存在点p，使得经过点p能作出抛物线y=(1/2)x^2的两条互相垂直的的切线？

若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

设P(a, a -2)
经过点P的切线方程为：y - (a-2) = k(x -a); y = k(x-a) + (a-2) (k为斜率）
与y=(1/2)x^2联立， x^2 -2kx + 2ka -2a+4 = 0
该方程二根相同：(-2k)^2 -4(2ka -2a+4) = 0
k^2 -2ak + 2a-4 = 0
两条切线互相垂直， 该方程二根k1*k2 = -1
k1*k2 = 2a-4 = -1
a = 3/2
P(3/2, -1/2)