Question

数学高一不等式

已知a、b、c为三角形的三条边,求证:a²;+b²+c²<2ab+2bc+2ca

Answer 1

因为a、b、c为三角形的三条边, 所以任意两边之和大于第三边；
所以 a²+b²+c²-（2ab+2bc+2ca）=(a^2-ab-ac)+(b^2-ba-bc)+(c^2-ca-cb)
= -a(b+c-a)-b(c+a-b)-c(a+b-c)<0
所以 a²+b²+c²<2ab+2bc+2ca

Answer 2

a-b<c
a-c<b
b-c<a
三个式子分别平方后加起来就行了！！

Answer 3

∵a、b、c为三角形的三条边
设a为最长边
∴b+c>a,即a-b<c
(a-b)^2<c^2
a^2+b^2<c^2+2ab
同理c^2+b^2<a^2+2cb
a^2+c^2<b^2+2ac
三个式子相加,得
a^2+b^2+c^2<2ab+2bc+2ca

Answer 4

a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca
=a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ca-a²-b²-c²
=(a-b)²-c²+(b-c)²-a²+(c-a)²-b²
=(a-b+c)(a-b-c)+(b-c+a)(b-c-a)+(c-a+b)(c-a-b)<0
a-b+c>0,a-b-c<0;b-c+a>0,b-c-a<0 ;c-a+b>0,c-a-b<0