Question

极坐标下二重积分的面积元素问题，谢谢！

极坐标系下二重积分的计算里那个rdrd@是这么来的？利用换元公式x=rcos@,y=rsin@,之后用全微分公式dx=cos@dr-rsin@d@, dy=sin@dr+rcosd@, dxdy=？如何得到rdrd@？

Answer 1

第一个公式是二重积分坐标系转换的通用的公式，其中x=x(u,v)、y=y(u,v)

Answer 2

从几何的角度来理解会简单一些，rdrdθ即极坐标系下的面积微元，rdθ是以dθ为圆心角，r为半径的扇形的弧长，由于dθ很小，可以近似将这一段弧看成直线，此时可以将面积微元看成一个小矩形，rdθ和dr分别是该矩形两条邻边的边长，乘积就是这个小矩形的面积，即面积微元的大小。

Answer 3

第一种理解方法可借助几何意义，在极坐标下画出那个dv然后计算出来就可以了，这在课本上都有，你可以认真看看，立即就可以明白。第二种方法就是变量代换，注意这时不能把dxdydz简单的看成一般的相乘关系，而应看作它们外积的模。你可能一下接受不了，如果你想深入了解的话，建议你找数学分析的书看看，上面有关于这方面的介绍。

Answer 4

rdθ为对应弧长，即微小面积的一边长，dr为另一边长，故rdθdr=dσ

Answer 5

在坐标转换过程中要乘一个雅克比行列式