Question

大学概率与数理统计题（急） 拜托高手啦~

一电话小总机共有200个电话小分机,设每个分机都有5%的时间使用外线电话，且是否使用外线相互独立，要保证每个用户以95%的概率通外线，小总机至少要设多少条外线？
需要具体步骤哦~

Answer 1

经典的二项分布概率题。特别注意：该题出题人设置了一个容易搅乱思维的东西，就是分机拨打率5%和保证通话率95%，两个完全不同的量，数值设置却设置的好像很有关联的样子，初学者可能会乱在这里。详见大图： （注：直接查看大图是看不清楚的，需要左键点住大图拖拽到新的页面方可查看。图中有一处笔误，不是“n远大于q”，应改为“nq远大于1”）

追问

谢谢你。不过有些地方我还是不明白。
1.P(i=5)=0.036 ,P(i=6)=0.061 若配六条线路，不是也保证95%以上的概率么？
2.相当于X~B(200,5%),之后怎么列式，有没有简单些的方法，我不能为算这道题把所有二项分布都写出来。还有“要保证每个用户以95%的概率通外线”这句话怎么理解？
3.答案给的是16。

追答

纠正我的一个失误，我之前讲的15部分机同时拨打的概率不足5%就认为15条外线是可行的，我把后面大于15的情况都漏了，其实应该算上从15到为200部分机同时拨打的概率总和，这个总和如果不超过5%，15就是可行的，也就是说如果14之前的概率总和超过95%，15就可行。我重新计算了一下，P(I<16)=95.561%,P(I<15)=92.183%，所以需要设置16根线。
--------------------------补充说明： 楼上的nowusing先生很对，对的无可挑剔，但建议你平和一些，不平和的心态对各方面思维都有影响，例如我从来没有说过 本题可以看成正态分布，只说接近正态分布，即趋势近似于正态分布。另外，用excel列二项分布确实很简单，但那是对你，提问人没有你那么擅长，他只是虚心求教，你又是叹号又是无语的，对他的数学提高有何帮助。建议提问人把nowusing先生的回答采纳了吧，不然就白让他生一肚子气了。

追问

谢谢阿晶~
我们老师的方法是求出E(X)=10,D(X)=9.5
由Φ(1.645)=0.95≤P(x<=n)=P(x=0)+P(x=1)...P(x=n) ≈ Φ[(n-10)/√9.5]
得n≥15.07
所以n=16

Answer 2

binomial distribution的题目.
假设总机至少要设n条外线
P(某一分机能通外线)=P(所有通外线分机＜=n) >=95%
95%=P(x<=n)=P(x=0)+P(x=1)...P(x=n)
P(x=i)=C(200 i) (0.05)^i (0.95)^(200-i)
i P(x=i)
0 0.000035
1 0.000369
2 0.001932
3 0.006712
4 0.017398
5 0.035896
6 0.061401
7 0.089562
8 0.113720
9 0.127685
10 0.128357
11 0.116689
12 0.096729
13 0.073623
14 0.051758
15 0.033779
=>p(x<=14)<0.95, p(x<=15)>0.95
=>n=15

追问

谢谢你。不过有些地方我还是不明白。
1.P(i=5)=0.036 ,P(i=6)=0.061 若配六条线路，不是也保证95%以上的概率么？
2.相当于X~B(200,5%),之后怎么列式，有没有简单些的方法，我不能为算这道题把所有二项分布都写出来。还有“P(某一分机能通外线)=P(所有通外线分机＜=n) >=95%”“95%=P(x <
3.答案给的是16。

追答

1. 要所有概率加起来大于95%！！p(x=95%： 就是说一个分机能通外线的概率等于所有通外线的分机不超过所有小分机的数量。第二个式子我无语了，wikipedia都能查到。
3. 可能是小数点取舍问题。不过过程写到这样的，任何老师批都不会扣分。(我以前做过统计学undergrad的TA~~)

追问

谢谢nowusing~
我们老师的方法是求出E(X)=10,D(X)=9.5
由Φ(1.645)=0.95≤P(x<=n)=P(x=0)+P(x=1)...P(x=n) ≈ Φ[(n-10)/√9.5]
得n≥15.07
所以n=16