Question

关于不等式的数学题

1 已知函数f（x）=ax^2-c,且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围。

2 已知-1<x+y<4且2<x-y<3,求z=2x-3y的取值范围

Answer 1

1
f（x）=ax^2-c
-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，即：
-4 ≤ a-c ≤ -1......（1）
-1 ≤ 4a-c ≤5......（2）
（1）×（-1）：1 ≤ -a+c ≤ 4......（3）
（2）+（3）：0 ≤ 3a ≤ 9，0 ≤ a ≤ 3，0 ≤ 9a ≤ 27......（4）
（1）×（-4）：4 ≤ -4a+4c ≤ 16......（5）
（2）+（5）：3 ≤ 3c ≤ 21，1 ≤ c ≤ 7，-7 ≤ -c ≤ -1......（6）
f(3)=9a-c......(7)
将（4）、（6）代入（7）：-7 ≤ 9a-c ≤ 26
故f(3)取值范围【-7,26】

2
-1 < x+y < 4......（1）
2 < x-y < 3......（2）
（1）+（2）：1＜2x＜7......（3）
（1）×（-1）：-4 ＜ -x-y ＜1......（4）
（2）+（4）：-2 ＜ -2y ＜ 4，-3 ＜ -3y ＜ 6......（5）
将（3）、（5）代入z=2x-3y：-2 ＜ 2x-3y ＜ 13
z=2x-3y的取值范围（-2，13）

Answer 2

这两道题目都是一个解法 如第一题 用f(1)与f(2)来表现出f(3)
f(1)=a-c f(2)=4a-c f(3)=9a-c
所以f(3)=[8f(2)-5f(1)]/3
又-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5
所以 有[8*(-1)-5*(-4)]/3<f(3)<[8*5-5*（-1）]/3
整理得 16/3<=f(3)<=15
第二道题 可以看成 x+y=f(1) x-y=f(2) z=2x-3y=f(3) 这样形式就与第一道题一样了

Answer 3

【1】[-1,20]. 【2】 (-2,13)