Question

问一道高一中数学题

某校对68名学生去游览A,B,C三个公园的情况进行调查，统计结果如下：
（1）每个人至少去过A,B,C三个公园中的一个公园；
（2）到过A和B，B和C，C和A公园的人数分别为25人，21人，19人；
（3）到过A或B，B或C，C或A公园的人数分别为60人，59人，56人。
试问，这些学生到过A、B、C公园的人数各为多少？三个公园都到过的学生有多少？
================================================================== 希望步骤多一些，还有这个最好用集合的知识去解答
解：设Card(X)表示到过X公园的人数（X=A,B,C),Card(AB)表示去过A和B的人数，Card(A+B)表示去过A或B的人数。以下类推
则有公式
Card(A+B)=Card(A)+Card(B)-Card(AB)
Card(A+B+C)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(AB)-Card(AC)-Card(BC)+Card(ABC)
根据题目知道：
Card(AB)=25,Card(BC)=21,Card(AC)=19
Card(A+B)=60,则Card(A)+Card(B)=60+Card(AB)=85
Card(B+C)=59,则Card(B)+Card(C)=59+Card(BC)=80
Card(A+C)=56,则Card(A)+Card(C)=56+Card(AC)=75
上面三个式子相加得到Card(A)+Card(B)+Card(C)=0.5(85+80+75)=120
再带回这三个式子所以：
Card(C)=35,Card(B)=45,Card(A)=40
而Card(A+B+C)代表至少去过一个公园的人数，显然全体同学都去过其中至少一个公园，所以Card(A+B+C)=68
所以120-Card(AB)-Card(AC)-Card(BC)+Card(ABC)=68
120-25-21-19+Card(ABC)=68
Card(ABC)=13

所以去过A公园的有40人，B公园的有45人，C公园的有35人
三个都去过的有13人

已经有人回答这题了，我想问一下以下两个式子怎么推出的
Card(A+B)=Card(A)+Card(B)-Card(AB)
Card(A+B+C)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(AB)-Card(AC)-Card(BC)+Card(ABC)

Answer 1

式子的推出在图中

追问

如果考试中出现，那两个式子需要画维恩图证明吗？

Answer 2

画个图就很容易理解了：
Card(A)画一个圆，Card(B)画一个圆，两个圆相交，重叠部分是Card(AB)，得到的图形的总面积是Card(A+B)，所以Card(A+B)=Card(A)+Card(B)-Card(AB)；
在上面的基础上，Card(c)再画一个圆，三个圆相交，A、C重叠部分是Card(AC)，B、C重叠部分是Card(BC)，A、B、C一起重叠部分是Card(ABC)，所以图形总面积Card(A+B+C)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(AB)-Card(AC)-Card(BC)+Card(ABC)

Answer 3

去过(A) + 去过(B) = 去过(A或B) + 去过(A和B)
即：Card(A)+Card(B)=Card(A+B)+Card(AB)
所以：Card(A+B)=Card(A)+Card(B)-Card(AB)

Answer 4

我想说我初二的，看不懂，不好意思啊