Question

设a、b为正常数a+b=10,又x、y为正数，且(a/x)+(b/y)=1,若x+y的最小值为18.求a、b的值

拜托过程尽量仔细点啊，谢谢

Answer 1

解法1：
由A/X+B/Y=1得X= AY/(Y-B)则设Z=X+Y=AY/(Y-B)+Y=(AY+Y2-BY)/(Y-B)化简得
Y2+(A-B-Z)Y+ZB=0因为Y 是正变数，所以▲=(A-B-Z)2-4ZB≥0化简配方得
「Z-(A+B)」2≥4AB，因为X Y 是正变数 A B 是正常数，所以Z-(A+B)≥2√AB，即
Z=X+Y≥2√AB+(A+B）故X+Y的最小值是2√AB+(A+B）
解法2：
因为,A/X+B/Y=1所以X+Y=（X+Y)×(A/X+B/Y)
=A+B+BX/Y+AY/X≥A+B+2√BX/Y×AY/X=A+B+2√AB（因为X Y 是正变数 A B 是正常数，由基本不等式得到）
当且仅当 BX/Y=AY/X时 取等号

Answer 2

(a/x)+(b/y)=1,若x+y=（x+y)(a/x+b/y)=a+b+bx/y+ay/x>=a+b+2根号（ab)=18 ，
又a+b=10, 所以 ab=16, a(10-a)=16, a^2-10a+16=0 a=2或8， b=8或2

Answer 3

x+y=((a/x)+(b/y))(x+y)=a+b+(ay/x)+(bx/y)>=a+b+2*(ab)^0.5
即x+y>=a+b+2*(ab)^0.5
又x+y>=18
所以a+b+2*(ab)^0.5=18即(ab)^0.5也就是ab=16。。。。。。。。。。。（1）
a+b=10。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2）
联立(1)(2)得a=2、b=8或a=8、b=2

Answer 4

(a/x)+(b/y)=1
若x+y=（x+y)(a/x+b/y)
=a+b+bx/y+ay/x
≥a+b+2根号（ab)=18 ，
a+b=10,
ab=16,
a(10-a)=16, a^2-10a+16=0 a=2或8， b=8或2