Question

数列不等式证明

数列{an}中a1=2，a（n+1）=an/2 +1/an,求证：根号2<an<根号2+1/n，（必须用数学归纳法）

Answer 1

n=1,a1=2,成立
n=k, √2<ak<√2+1/k
n=k+1时，a(k+1)=ak/2+1/ak>=2√(ak/2x 1/ak)=√2,ak=√2时等号成立，ak>√2,所以取大于号。
a(k+1))=ak/2+1/ak<(√2+1/k)/2+1/√2=√2+1/(2k)<√2+1/(k+1)
所以结论成立。