Question

如图 已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E是BC上两个动点（与B,C不重合），且∠DAE=45°，问：

（1）BD,DE.EC三条线段中，那条线段最长？
（2）BD,DE.EC三条线段中，能够成一个直角三角形，若能，请予以证明，若不能，请说明理由
要简单的方法，快点！！

Answer 1

将△ABD绕点A逆时针旋转90°，形成△ACD'，连接D'E。
∵∠DAE=45°，∠DAD'=90°
∴∠EAD'=∠DAD'-∠DAE=45°
∴∠EAD'=∠DAE
在△DAE和△D'AE中，AD=AD'，AE=AE，∠EAD'=∠DAE，故△DAE全等△D'AE
∴DE=D'E
∵△ADB全等△AD'C
∴BD=CD'，∠ACD'=∠B=45°
∵∠ACE=45°
∴∠ECD'=∠ACD'+∠ACE=90°
∴DE=D'E，作为直角三角形斜边，为最长，且三条线段能构成直角△。

Answer 2

20085660，你好：

作AF使∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，联结FD、BD（如图）
[实质上是将△顺时针旋转，不过辅助线的叙述要这样说明白]
∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，AD=AD 可得△FAD全等于△EAD
∴FD=DE
∵AE=AF，AB=AC，∠FAB=∠EAC [简单导一下45度角] 可得△EAB全等于△EAC
∴FB=EC，∠FBA=∠ECA=45°
这样BD、DE、EC就导到一个三角形BDF里了。
也可证得△BDF为直角三角形。自然是FD（DE）最长了。

很经典的一道题，简单分析了下思路，重要的是有相等的边掌握一个旋转的思想方法。
希望能够帮助你。

Answer 3

将三角形AEC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合。然后证明三角形AE1D与三角形AED全等。得DE=DE1因为EC=E1C所以CE2+BD2=DE2