Question

初中数学问题

如果在圆o中，两弦AB与CD的中点分别是P,Q，且弧AB=弧CD，连接PQ。
求证：角APQ=角CQP
非常感谢！

Answer 1

思路：有弦常做弦心距。此题明确告诉PQ是中点所以连接OP\OQ
则由垂径定理得，OP垂直于AB，OQ垂直于CD，所以角APO=角CQO,又OP=OQ，所以角OPQ=角OQP，所以利用等量减等量差相等。命题可证

Answer 2

解：连接OP,OQ。因为OQ过圆心，Q为弦CD的中点，所以由垂径定理得OQ垂直平分CD。同理，OP垂直平分AB。因为弦AB等于弦CD，所以OP等于OQ，所以△OPQ为等腰三角形，所以∠OPQ等于∠OQP。
又因为OQ⊥CD，OP⊥AB，所以∠APO-∠OPQ=∠CQO-∠OQP，即∠APQ=∠CQP

Answer 3

连接OP ,OQ
因为P、Q分别为AB、CD的中点
所以OP⊥AB；OQ⊥CD；
又OP=OQ，
∠OPQ=∠OQP
又因为OQ⊥CD，OP⊥AB
∠APQ=90°—∠OPQ
∠AQP=90°—∠OQP
∠APQ=∠AQP

Answer 4

你的图好像不对吧，若圆心在PQ上的话，据垂径定理有∠APQ=∠CQP=90度
若圆心不在PQ上的话，连接OP,OQ则
由弧ACD=弧CAB有∠ABD=∠CDB，
又∵PQ‖BD, ∴∠APQ=∠CQP .

Answer 5

连接OP,OQ

因为P、Q分别为AB、CD的中点

所以OP⊥AB；OQ⊥CD；

又OP=OQ，

∴∠OPQ=∠OQP

∴∠APQ=90°—∠OPQ

∠AQP=90°—∠OQP

即证：∠APQ=∠AQP