Question

数学题在线解答：关于分式方程

:甲乙二人从M地同时出发到N地,甲用一半时间以akm/h的速度行驶,另一半时间以bkm/h的速度行驶；乙以akm/h的速度行驶一半路程，另一半路程以bkm/h的速度行驶，a不等于b，则先到N地的为（ ）
A甲 B乙 C甲乙同时到达 D若a大于b，甲先到；若a小于b，乙先到
不要只给答案 谢谢

Answer 1

设总的路程是X，甲用的时间t1=X/[(a+b)/2]，乙用的时间是t2=X/2a+X/2b=X(1/2a+1/2b),

比较一下，发现两者分子都是X，那么用除法来判断大小，然后化简，算下来t1/t2=4ab/(a+b)^2,

由于(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0,由于分开来说了，所以默认的a不等于b，所以只取大于0。

所以t1/t2<1,所以甲快。 

还有可以作图。斜率就代表着当时的速度，即a,b,分别画出了a>b,a<b的情况。 

红色代表甲，蓝色代表乙，红的始终先到。

我觉得做选择题，画图是最快的方法。

Answer 2

令路程为1
甲用时：2/(a+b)
乙用时：1/2a+1/2b
2/(a+b)-（1/2a+1/2b）
=2/(a+b)-（a+b)/2ab
=(4ab-(a+b)²)/2ab(a+b)
=-(a-b)²/2ab(a+b)
∵a＞0，b＞0，且a不等于b
∴-(a-b)²/2ab(a+b)＜0
即甲用时比乙用时少
甲先到 答案为A

Answer 3

距离为2x
甲的时间=2x/[(a+b)/2]=x*[4/(a+b)]
乙的时间=(x/a)+(x/b)=x*(1/a+1/b)=x*[(a+b)/ab]
甲的时间/乙的时间=x*[4/(a+b)]/x*[(a+b)/ab]=4ab/(a+b)^2=1-(a-b)^2/(a+b)^2=1-[(a-b)/(a+b)]^2
[(a-b)/(a+b)]^2＞0,甲的时间/乙的时间=1-[(a-b)/(a+b)]^2＜1,甲的时间＜乙的时间,甲先到

A

Answer 4

设总距离为2s
甲：t=2s/（（a+b）/2）=4s/(a+b)
乙：t=s/a+s/b
甲-乙=4s/（a+b）-（s/a+s/b）=s*(4/(a+b)-1/a-1/b)=s*（4ab-ab-b*b-ab-a*a）=s*(-a*a+2ab-b*b）=-s*(a-b)*(a-b)<=0
所以，甲先到

追问

甲的速度为什么是（（a+b）/2）？