Question

设A是n阶实矩阵，b是任意的n维列向量，证明线性方程组A^TAx=A^Tb有解

Answer 1

知识点: r(A'A) = r(A).
[证明方法: AX=0 与 A'AX=0 同解]

r(A'A,A'b) >= r(A'A) = r(A)
另一方面
r(A'A,A'b) = r[A'(A,b)] <= r(A')=r(A)
所以 r(A'A,A'b) = r(A)

所以, 增广矩阵与系数矩阵的秩都是 r(A)
故 线性方程组A'Ax=A'b有解.

有问题请追问.

Answer 2

用判别法则
rank(A^TA,A^Tb)>=rank(A^TA)
同时
rank(A^TA,A^Tb)=rankA^T(A,b)<=rankA^T
利用事实rankA^TA=rankA=rankA^T
所以
rank(A^TA,A^Tb)=rank(A^TA)
系数矩阵秩=增广矩阵秩，方程有解。