Question

已知（b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c,求abc/[(a+b)(b+c)(a+c)]的值。

Answer 1

(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c
(a+b+c)/a=(b+c+a)/b=(a+b+c)/c
所以有两种情况：
(1) 若a+b+c=0，abc/[(a+b)(b+c)(a+c)] = abc/-abc = -1
(2) 若a+b+c≠0, 那么a=b=c, abc/[(a+b)(b+c)(a+c)] = abc/8abc = 1/8

Answer 2

令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
以上3式相加得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0

若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
abc/(a+b)(b+c)(c+a)
=abc/(-c)(-a)(-b)
=-1

若k-2=0
k=2
a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
abc/(a+b)(b+c)(c+a)
=abc/(2c*2a*2b)
=1/8

所以abc/(a+b)(b+c)(c+a)=-1或1/8

Answer 3

令a=b=c=1,可得所求为1/8

Answer 4

设（b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c = k
则 b+c = ak
c+a = bk
a+b = ck
相加 2(a+b+c) = k(a+b+c)
所以 k=2
abc/[(a+b)(b+c)(a+c)]= abc/(2a* 2b*2c) = 1/8