Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x^2/2

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x^2/2
1、设函数F（x）=ag(x)-f(x),(a>0)，若F(x)>0恒成立，求实数a的取值范围
2、若x1>x2>0，总有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

1 , F' (x ) = ax - 1/ x ; ( a>0 ,x >0 )
F '(x )=0 : x =sqrt(1/a)
x 属于 （0 ，sqrt(1/a) ) 时 ，F '(x ) < 0 ;
x 属于 (sqrt (1/a ) ,+ ∞ ） 时 F '( x) > 0;所以 F ( x) 在 x = sqrt (1/a ) 处取得最小值
带入 得： a * /2a - ln (1/a) >0; 1/2 > ln 1(/a) ; a > (1/ sqrt (e) );
2 ， m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2) >0
等价于 m x1^2/2 - x1 ln x1 > m x2^2/2 -x2 ln x2 .任意 x1>x2 >0;
于是 只要令 h(x ) = m x^2 /2 -x ln x . h(x ) 满足单调递增即可 ；
h '( x) 恒大于 0
h '(x ) =m x -( 1 + ln x ) >0 显然 m > 0
h ''(x ) = m - 1/x ; h '(x ) 在 x = 1/m 处取得最小值 。
h '( 1/m ) =1 - ( 1+ ln (1/m ) ) > 0;
ln (1/m ) < 0;
1/m < 1
m > 1;
大体就是这样了 ， 思路是这样 ，不知道有没有算错 。。。