Question

已知在三角形ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，求证1／（a＋b）＋1／（b＋c）＝1／（a＋b＋c）

Answer 1

解：因为三个内角A,B,C成等差数列
所以可求得：∠A=30度，∠B=60度，∠C=90度
或∠A=90度，∠B=60度，∠C=30度

当∠A=30度，∠B=60度，∠C=90度时可知
a:b:c=1:√3:2
所以c=2a,b=√3a
所以1／（a＋b）＋1／（b＋c）
=1/(a+√3a)+1(√3a+2a)
=(√3-1)/2a+(2-√3)/a
=(3-√3)/2a

1／（a＋b＋c）
=1/(a+√3a+2a)
=1/(3a+√3a)
=(3-√3)/6a

因此你说的结果错误，正确结果应为
1／（a＋b）＋1／（b＋c）＝3／（a＋b＋c）

当∠A=90度，∠B=60度，∠C=30度时同样可得出

Answer 2

设A<B<C,则B=60（因A+C=2B，so:2B+B=180,so:B=60），
则1/2=cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，则：a^2+c^2=b^2+ac
so:c/(a+b)+a/(b+c)
=(a^2+c^2+ab+bc)/(ab+ac+b^2+bc)
=(b^2+ac+ab+bc)/(ab+ac+b^2+bc)
=1
so:1+c/(a+b)+1+a/(b+c)=3
so:(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
so:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)