Question

已知数列{An｝的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,当n≥3时,Sn+Sn-2=2Sn-1+2求证:数列｛An

（2）设数列{Bn｝对任意的n属于自然数，均有An=b1×S1＋b2×S2＋…＋bn×Sn成立，求b1＋b2＋…＋b2011的值。

Answer 1

1、n》3，Sn+Sn-2=2Sn-1+2 ，即 Sn - Sn-1=Sn-1 -Sn-2+2，即A(n) = A(n-1) +2
A(n)是等差数列，A(n)=2*n
2、An=b1×S1＋b2×S2＋…＋bn×Sn，那么换成n-1
An-1=b1×S1＋b2×S2＋…＋bn-1×Sn-1
两式相减，有An - An-1 = bn×Sn = bn×n×(n+1)
因为An - An-1 =2
所以bn= 2/[n*(n+1)] =2*[1/n - 1/(n+1)]
3、b1＋b2＋…＋b2011 = 2* [ (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) +(1/3 - 1/4)+....+(1/2011 - 1/2012) ]
=2*(1-1/2012) = 2011/1006