Question

已知数列{an}中，a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等于2的正整数)，是否存在实数y，

使得数列{an+y\2的n次方}为等差数列？若存在，求出y的值。若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
a1=5 a1/2=5/2
an=2a(n-1)+2^n-1
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)-1/2^n
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=-1/2^n
a(n-1)/2^(n-1)-a(n-2)/2^(n-2)=-1/2^(n-1)
…………
a2/2^2-a1/2^1=1/2^2
累加
an/2^n-a1/2=1/2^2+1/2^3+...+1/2^n
an/2^n=5/2+(1/4)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)=5/2+1/2-1/2^n=3-1/2^n
an=3×2^n-1
a(n-1)=3×2^(n-1)-1
若数列{(an+y)/2^n}为等差数列，则数列后项与前项差为常数。
(an+y)/2^n-[a(n-1)+y]/2^(n-1)
=3+(y-1)/2^n-3-(y-1)/2^(n-1)
=(y-1)/2^n-2(y-1)/2^n
=(1-y)/2^n
分母2^n为变量，要(1-y)/2^n为常数，只有分子=0，即1-y=0 y=1 ，此时，数列公差为0
数列变为{(an+1)/2^n}
(a1+1)/2=(5+1)/2=3
数列{(an+1)/2^n}是首项为3，公差为0的等差数列，也是各项均为3的常数数列。

追问

关于1/2^2+1/2^3+...+1/2^n是怎么转化成(1/4)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)的？{前面那个5/2是a1倒是知道}