Question

已知等比数列｛an}满足an>0,n=1,2,…，且a5-a2n-5=2^2n(n>=3),则当n>=1时，log2a1+log2a3+…log2a2n-1= ?

此题的答案是∵a[n]是等比数列。又有a[5]*a[2n-5]=2^2n ∴a[1]*a[2n-1]=2^2n
设a[n]得公比为q. ∵a[1]*q^n-1=a[n]， a[2n-1]=a[1]*q^2n-2，
∴a[1]*a[2n-1]=(a[1]*q*n-1)²=a[n]² ∴a[n]²=2^2n 从而 a[n]=2^n
∵log2 a[1]+log2 a[2]+…+log2a[2n-1]=log2(a[1]*a[2]*…a[2n-1])
=log2[(a[1]*a[2n-1])*(a[2]*a[2n-2])…
=log2[2^n²]
=n^2
（1）此题中n大于等于3。还有n大于等于1起到了什么作用？
（2）原题中写的是log2a1+log2a3+…log2a2n-1= ，怎么在做题时却出现了log2 a[2]+呢？
（3）∵A5*A2n-5=2^2n ∴A1*A2n-1=2^2n由上一步怎么得出的下一步呢？

Answer 1

回答：（1）n大于等于1的作用是：log2a(2n--1)有意义。
（2）题中的log2a(1)+log2a(2)+.....+log2a(2n--1)=log2(a1)*a(2)......*a(2n--1)
是运用了对数的性质“对数的和等于积的对数。”如“logaM+logaN=log a(M*N).”
(3) A5*A2n--5=A1*A2n--1. 这是等比数列的基本性质。
例如 a1*a5=a2*a4, a6*a10=a7*a9=a2*a14等等。
懂了吗？

追问

第二问的意思是原题中是log2a1+log2a3并没有log2a2呀，这个log2a2是哪里来的？

追答

你说得有道理，是我写错了
改正如下：
（2）log2(a1)+log2(a3)+......+log2(a2n--1)=log2(a1)*(a3)......*(a2n--1)