高中数学均值不等式
设k、n是自然数,1≤k≤n;x1,x2,…,xk是k个正实数,且它们的和等于它们的积。求证：x1^(n-1)+x2^(n-1)+…xk^(n-1)≥kn已经确定可以用均...
设k、n是自然数,1≤k≤n;x1,x2,…,xk是k个正实数,且它们的和等于它们的积。求证：
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…xk^(n-1)≥kn
已经确定可以用均值不等式
也希望解答的人可以用均值不等式解，因为我正在学的这一讲正好是有关均值不等式 展开
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…xk^(n-1)≥kn
已经确定可以用均值不等式
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因x1*x2*...*xk=x1+x2+...+xk≥k(x1*x2*....*xk)^(1/k)
则(x1*x2*...*xk)^(k-1)/k≥k
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…+xk^(n-1)≥k(x1*x2*....xk)^[(n-1)/k]
≥k(x1*x2*....xk)^[(k-1)/k]
≥k^2
则(x1*x2*...*xk)^(k-1)/k≥k
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…+xk^(n-1)≥k(x1*x2*....xk)^[(n-1)/k]
≥k(x1*x2*....xk)^[(k-1)/k]
≥k^2
追问
k(x1*x2*....xk)^[(n-1)/k]≥k(x1*x2*....xk)^[(k-1)/k]
这一点的证明中必须要求x1*x2*x3…xk≥1
请问该怎么证明x1*x2*x3…xk≥1
追答
这好证，假如它们都小于1
则x1+x2+...+xk>x1*x2*...*xk(因为小于1的数越乘越小)
与已知矛盾
因此其中至少有一个大于等于1
所以x1*x2*...*xk=x1+x2+...+xk≥1
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