Question

高数，数列求极限问题求快速解答

求当n趋向于正无穷大时，(4n^2-1^2)^(-0.5)+(4n^2-2^2)^(-0.5)+……+(4n^2-n^2)^(-0.5)的极限……
希望详细过程，最好先证明该数列有极限……

Answer 1

不要用数列证，否则你就掉陷阱了。明显是转化成积分做，就看你Riemann积分本质搞懂没有。硬要用数列极限做你可能永远做不出来。
原式=(1/n)*{1/√[4-(1/n)^2]+1/√[4-(2/n)^2]+…+1/√[4-(n/n)^2]}
被积函数是f(x)=1/√(4-x^2)，积分区间是0→1，分为n份，每份长度为1/n。
当n→+∞时，原式=∫[1/√(4-x^2)]dx，从0积到1。
显然此积分是存在的，原题极限的值就是此积分的值。
令x=2sinθ，积分区间对应的变为0→π/6
带入积分式中有∫[1/√(4-x^2)]dx=∫[1/√(4-4(sinθ)^2)]d(2sinθ)=∫dθ=π/6-0=π/6
所以，原数列的极限存在，为π/6。

Answer 2

化成积分来解，答案π/6
详见参考资料