Question

在三角形ABC中已知a*cosA+b*cosB=c*cosC用余弦定理证明三角形ABC是直角三角形

Answer 1

由原式得a*(b^2+c^2-a^2)/2bc+b*(a^2+c^2-b^2)/2ac=c*(a^2+b^2-c^2)/2ab 两边同乘2abc得a^2*(b^2+c^2-a^2)+b^2*(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2) 展开2*a^2*b^2+a^2*c^2-a^4+b^2*c^2-b^4=a^2*c^2+b^2*c^2-c^4 移项得 2*a^2*b^2-a^4-b^4+c^4=0 乘以负一得-2*a^2*b^2+a^4+b^4-c^4=0 [a^2-b^2]^2 =c^4 两边开方得 a^2-b^2=c^2 移项 a^2=b^2+c^2 遵循勾股定理。所以三角形ABC为直角三角形

Answer 2

由余弦定理可知
cosC = (a2 + b2 - c2) / 2ab
cosB = (a2 + c2 - b2) / 2ac
cosA = (c2+ b2 - a2) /2bc
a*cosA+b*cosB=c*cosC
把cosA、cosB、 cosC的值同时代入已知等式的左右两边得：

a*(c2+ b2 - a2) /2bc+b*(a2 + c2 - b2) / 2ac=C*(c2+ b2 - a2) /2bc

由于a、b、c是三角形的三边，所以a、b、c均同时>0.
等式两边同时乘以2abc，得
a2(a2 + b2 - c2)+ b2(a2 + c2 - b2)= c2(c2+ b2 - a2)
两边化简得
2a2b2-a4-b4=-c4
两边同时乘以-1得
2a2b2+a4+b4=c4
（a2 + b2）2=（c2）2
两边同时开算术平方根得
a2 + b2= c2
与勾股定理一致，所以ΔABC是直角三角形。