Question

如何判断三角函数的形状

a≠c acosA=ccosC如何判断这个三角形形状

Answer 1

方法1：
由正弦定理及已知acosA=ccosC得sinAcosA=sinCcosC
所以sin2A=sin2C，2A、2C∈(0，2π)，因此2A=2C或2A+2C=π
A=C或A+C=π/2。
而a≠c，所以A≠C，于是A+C=π/2，从而B=π/2。所以此三角形是直角三角形。
方法2：
由余弦定理及已知acosA=ccosC得a(b²+c²-a²)/(2bc)=c(b²+a²-c²)/(2ab)
化简得a²b²-c²b²-a^4+c^4=0
分解因式得(a²-c²)(a²+c²-b²)=0
由于a≠c，所以a²-c²≠0。因而a²+c²-b²=0，所以三角形是直角三角形。