Question

正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值？ 求x+2y的最小值？

Answer 1

1=1/x+9/y≥2√(9/xy)，所以xy≥36。当1/x=9/y即x=2，y=18时xy取得最小值36。
x+2y=(x+2y)(1/x+9/y)=19+9x/y+2y/x≥19+2√(9x/y·2y/x)=19+6√2。当9x/y=2y/x，即x=1+3√2，y=9+3√2/2时，x+2y取得最小值19+6√2。

Answer 2

1、1=1/x＋9/y≥2√(9/xy)，则xy≥36，即xy最小值是36，当且仅当x=2，y=18时取等号；
2、x＋2y=(x＋2y)(1/x＋9/y)=19＋2y/x＋9x/y≥19＋6√2，最小值为19＋6√2，当且仅当2y/x=9x/y时取等号。

Answer 3

(1) 均值不等式：
1 = 1/x + 9/y ≥ 3/√(xy) ==> √(xy) ≥ 3 ==> xy ≥ 9
(2) 柯西不等式：
(1/x + 9/y)(x + 2y) ≥ (1 + 3√2)2
x+2y ≥ 19 + 6√2

Answer 4

1=1/x+9/y>=2√（9/xy）
√（xy）>=6
xy>=36
x+2y=(x+2y)(1/x+9/y)=1+18+2y/x+9x/y>=19+6√2