Question

在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的外角平分线于点E，交∠BCA的外角平

在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的外角平分线于点E，交∠BCA的外角平于点F
（1）求证：PE=PF
（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由
（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且AP/BC=（√3）/2。求此时∠A的大小

Answer 1

解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN‖BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中点，
∴AP=PC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= 1/2（∠BCA+∠ACD）= 1/2×180°=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；

（3）证明：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF‖BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠A= AC:BC=2AP:BC= √3，
∴∠A=30°．

Answer 2

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