Question

设a为实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R

当a=2时，求f(x)的最小值

请给出详细过程 谢谢了啦

Answer 1

当a=2时，f(x)=x^2+|x-2|+1;
①当x<2时，f(x)=x^2+2-x+1=x^2-x+3=(x-1/2)^2+11/4 ，当x=1/2是f(x)(min)=f(1/2)=11/4=2.75;
②当x≥2时，f(x)=x^2+x-2+1=x^2+x-1=(x+1/2)^2-5/4 ，x∈[2，∞）时，f(x)单调递增，f(x)(min)=f(2)=5.
由①②知，f(x)(min)=f(1/2)=2.75.

Answer 2

当x-a大于0时 原式等于f(x)=x^2+x-a+1 即f(x)=x^2+x-1 函数开口向上 对称轴为负的二分之一 所以当x等于负二分之一有最小值为负的四分之五
当x-a小于0时 原式等于f(x)=x^2+a-x+1 即f(x)=x^2-x+3 函数开口向上 对称轴为二分之一 所以当x等于二分之一是有最小值为四分之十一