Question

一道初三数学题 谢谢 来解答下

如图,Rt△BDE中,∠BDE= 90°,BC平分 ∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r。（1）BC*BD=r*ED
（2）若BD=3，DE=4，求AE长

Answer 1

（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC‖DB，（内错角相等，两直线平行），
∴ OCBD=CEDE，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
作CF⊥BE，垂足F，
∵∠D=90度，
∴∠CFB+∠D=180°，
∴F、B、D、C四点共圆，
∴∠FCE=∠DBA，（圆外接四边形的外角等于它的内对角）．
∵CD=CF，（角平分线上的点到角两边的距离相等角两边等距），
∴Rt△BDC≌Rt△ECF，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2）、BD=3，DE=4，
根据勾股定理，BE=5，
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述，OC//BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，
CE是圆O切线，
CE^2=AE*BE,(切割线定理），
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64。