Question

几何证明问题

1.设a,b,c为实数，A=a²-2b+π/2,B=b²-2c+π/3,C=c²-2a+π/6.求证：A,B,C中至少有一个大于零。
2.用反证法证明：√2是无理数。（任何一个有理数均可表示为b/a的形式，且a,b互质。）
3.一个多边形除去一个内角外，其余各个内角之和为1200°，求这个内角的度数和多边形的边数。

Answer 1

1、假设A,B,C都不大于0，则A<=0,B<=0,C<=0
A+B+C<=0
A+B+C=a^2-2b+pi/2+b^2-2c+pi/3+c^2-2a+pi/6=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+pi-3
(a-1)^2,(b-1)^2,(c-1)^2均大于等于0，pi-3>0
与A+B+C<=0矛盾，所以假设不成立，A,B,C中至少有一个大于零。
2、假设√2是有理数，√2=b/a，a,b均为整数
则b=√2a, 因为a为整数，b=√2a与b为整数矛盾
所以假设不成立，√2是无理数。
3、设除去的内角度数为x，边数为n
（n-2)*180=1200+x
n=26/3+x/180≈8.667+x/180
若n=9，x=60
若n=10,x=240