Question

如图1,已知角ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点

如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕
浏览次数：507次悬赏分：20 | 解决时间：2010-11-3 20:10 | 提问者：11997012265
点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F。
当点P为射线BC上任意一点时，∠QFC的度数是多少？
图片地址：http://zhidao.baidu.com/question/194801732.html

重点：：：（3）已知线段AB=2根号3，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式！！？？？？？？?????

Answer 1

∠QFC=60°．
不妨设BP＞√3 AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE/2 =√3 ，
∴BF= BE/cos30=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= √3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=√3/2 x+ √3

Answer 2

证明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠EBF=30°；（1分）
则猜想：∠QFC=60°；（2分）

（2）∠QFC=60°． （1分）
设AP交QF于M，∠QMP为△AMQ和△FMP共同的外角，
∴∠QMP=∠Q+∠PAQ=∠APB+∠QFC，
由△ABP≌△AEQ得∠Q=∠APB，由旋转知∠PAQ=60°，
∴∠QFC=∠PAQ=60°，

（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=23．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE2=3，
∴BF=BGcos30°=2．
∴EF=2． （1分）
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2． （2分）
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=32（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=32x+3．

Answer 3

∠QFC=60°．
不妨设BP＞√3 AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE/2 =√3 ，
∴BF= BE/cos30=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= √3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=√3/2 x+ √3

Answer 4

∠QFC=60°．
不妨设BP＞√3 AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE/2 =√3 ，
∴BF= BE/cos30=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= √3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=√3/2 x+ √3

Answer 5

∠QFC=60°．
不妨设BP＞√3 AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE/2 =√3 ，
∴BF= BE/cos30=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= √3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=√3/2 x+ √3