Question

高中几何题（如图）

AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上的一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T，DN与圆O相切于点N，连结MC、MB、OT。
(1)求证：DT*DM=DO*DC
(2)若∠DOT=60°，试求∠BMC=？

Answer 1

（1）连结AM, BT。设圆半径为d.
ABTM是圆内接四边形，所以∠TBD=∠DMA, ∠DTB=∠DAM
又因为∠MDB=∠ADT,所以ΔDBM∽ΔDTA
所以DM/DA=DB/DT
DM*DT=DA*DB
因为DB=BO=d, 所以DA=3d。
所以DM*DT=3d^2
C是OB中点，所以DC=3d/2, DO=2d
所以DC*DO=3d/2*2d=3d^2
所以，DM*DT=DC*DO。
（2）∠DOT=60度，所以三角形OTB是等边三角形，TB=d。
因为TB=BD=OB, 所以三角形OTD是直角三角形，∠DTO=90度。
因为OT=d且垂直于DT，所以DT与圆O相切于T，所以T和M点重合。
在等边三角形OTB(OMB)中，C是OB中点，所以MC平分∠BMO
所以∠BMC=30度。