Question

在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t)且向量a‖向量AB

1,.若向量|AB|=√5向量|OA|，求向量OB的坐标
2.求y=cos^2θ-cosθ+t^2的最小值

Answer 1

向量a=(2,1),向量AB=(cosθ-1，t)向量a‖向量AB。由这个条件可以得到：
2t=cosθ-1
1:|AB|=√5向量|OA|，列出方程
|AB|=5|OA|
5/4(cosθ-1)=25
cosθ-1=2√5
所以点B的坐标为(2√5+1，√5)，这也就是向量OB的坐标
2：y=cos^2θ-cosθ+t^2，将2t=cosθ-1代入并化简，可以得到一个二次函数，由此根据抛物线的性质可以得到最小值
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Answer 2

因为向量a垂直向量AB,且向量AB=√5向量AB=（cosX - 1,T）则向量a与向量AB的乘积为0有cosX - 1+2t=0 （ cosX - 1）^2+T^2=5解得：T=1 cosX=-1则B（-1， 1）则向量OB为（-1 ，1） 因为向量a与向量AB共线则2（cosX -1）=T 整理得到 cosX=(T+2)/2向量OB点乘向量AB=(cosX - 1)cosX + T^2 =[ (T+2)/2 - 1](T+2)/2+T^2 = (5T^2+2T)/4 =5[ (t+0.2)^2 - 1/25] / 4 ≥- 1/20所以最小值为-1/20注意：过程中的^2表示平方