Question

已知抛物线C:y2=4x 的准线与x轴交与M点，F为抛物线的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线交与A B两点。

是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在Q（x，y）满足QA垂直于QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由！

Answer 1

存在.
直线l:y=k(x+1) (k≠0)
联立y=k(x+1) ,y²=4x.消去x得.y²-4y/k+4=0
Δ=16/k²-16>0.解得k²<1且k≠0
由韦达定理:y1+y2=4/k. y1y2=4
设A(y1²/4,y1) B(y2²/4,y2) Q(y²/4,y)
向量QA=[(y1²-y²)/4,y1-y).向量QB=[(y2²-y²)/4,y2-y]
因为QA⊥QB.
所以(y1²-y²)(y2²-y²)/16+(y1-y)(y2-y)=0
<=>(y1-y)(y2-y)[1+(y1+y)(y2+y)/16]=0
因为y≠y1,y≠y2
所以1+(y1+y)(y2+y)/16=0
整理得:y²+4y/k+20=0
Δ=16/k²-80≥0.解得k²≤1/5
故k的取值范围是[-√5/5,0)∪(0,√5/5]