Question

函数f(x)=ax^2-bx+1,设g(x)=2^(x^2-2x)对任意实数x1,总存在x2,使f(x1)=g(x2)成立，求实数a,b满足条件

Answer 1

g(x)=2^(x^2-2x)=2^[(x-1)^2-1]=[2^(x-1)^2]/2
g(x)是指数函数，x=1时，g(x)=1/2最小，曲线以x=1对称，
要求f(x)值域与g(x)相同，但不一定对应相同的x

f(x)=ax^2-bx+1最小值也必须是1/2，即ax^2-bx+1=1/2有唯一解
ax^2-bx+1/2=0
b^2-2a=0
b^2=2a
f(x)=(b^2/2)x^2-bx+1
=[(bx)^2-2bx]/2+1
=(bx-1)^2/2+1/2
对于任意实数b，总能找见对应的实数x，使bx=1，f(x)=1/2。然后任意f(x1)，总能找见x2，使
f(x1)=g(x2)
所以，条件就是b^2=2a

Answer 2

抛物线是开口向上的，又因为单调增区间是[4,正无穷大），所以抛物线对称轴是x=4,所以对称轴x=-2(a-1)/2=1-a=4,故a=-3.