Question

初三数学题急用

萧山进行新农村改造中，一路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2m，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）已知点C与点D之间的距离为12m，求灯柱BC的高（结果保留根号）

Answer 1

解法一：
在四边形BCDA 中，

已知∠C = 90°，
∠BAD = 90°，
∠ABC = 120°

∴ ∠ADC = 360° -- ∠C -- ∠BAD -- ∠ABC
= 360° -- 90° -- 90° -- 120°
= 60°

设 CB 与 DA 的延长线交于 点E，
则∠EDC = ∠ADC = 60°

在Rt△EDC 中，
由 tan∠EDC = EC/CD 得：
EC = CD × tan∠EDC
= CD × tan 60°
= 12 × √3
= 12√3

在Rt△EBA 中，
∠EBA = 180° -- ∠ABC
= 180° -- 120°
= 60°

由 cos∠EBA = AB/EB 得：
EB = AB / cos∠EBA
= AB / cos60°
= 2 / (1/2)
= 4

∴ BC = EC -- EB
= 12√3 -- 4

解法二：在四边形BCDA 中，

已知∠C = 90°，
∠BAD = 90°，
∠ABC = 120°

∴ ∠ADC = 360° -- ∠C -- ∠BAD -- ∠ABC
= 360° -- 90° -- 90° -- 120°
= 60°

设 AB 与 DC 的延长线交于 点F，
则在Rt△ADF 中，∠F = 90° -- ∠ADC
= 90° -- 60°
= 30°

在Rt△BCF 中，设 BC = x ，
则 BF = BC / sin∠F
= BC / sin30°
= x / (1/2)
= 2x

FC = BC / tan∠F
= BC / tan30°
= x / (√3/3)
= √3 x

在Rt△ADF 中，由 cos∠F = AF / FD 得：
cos30° = (BF + AB) / (FC + CD)

∴ √3/2 = (2x + 2) / (√3 x + 12)

∴ √3 × (√3 x + 12) = 2 × (2x + 2)

∴ 3x + 12√3 = 4x + 4

∴ x = 12√3 -- 4

则 BC = 12√3 -- 4

解法三：过点B作AD的平行线交CD于点M，过M作MN ⊥ AD于点N，
易证 四边形ABMN是矩形。
∴ MN = AB = 2

在 Rt△MND 中，
MD = MN / cos∠ADC
= MN / cos 60°
= 2 / (√3/2)
= 4√3 / 3

∴ MC = CD -- MD
= 12 --（4√3 / 3）
= (36 -- 4√3)/3

在Rt△BMC中，
BC = MC × tan∠BMC
= MC × tan 60°
= [ (36 -- 4√3)/3 ] × √3
= (36√3 -- 12) / 3
= 12√3 -- 4

解法四：过点C作 CP ⊥ AD 于点P，
再过点B 作 BQ ⊥ CP 于点Q。

则 CP = CD × sin∠D
= 6√3

CQ = CP -- QP
= CP -- AB
= 6√3 -- 2

BC = CQ / sin∠CBD
= CQ / sin30°
= (6√3 -- 2) / (1/2)
= (6√3 -- 2) × 2
=12√3 -- 4

祝您学习顺利！

Answer 2

过A作AE垂直CD于E。再过B作BF垂直AD于F。
则△ABF和△ADE均是有30度角的直角三角形,BCEF是长方形。
所以AE=AF+EF=AF+BC=(CD-CE)tan60=(CD-BF)tan60
BF=AB*sin60 AF=1/2*AB=1
代入。求解得：BC=12√3-4