Question

急求解高三数学题

已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=3，X+2Y=1.若向量AO=X倍的向量AB+Y倍的向量AC（XY不等于0），则COS角BAC=？求帮忙写下详细解题过程

Answer 1

取 AC 中点 P，做AC的中垂线，则中垂线与AC的交点为P，外心O也在中垂线上。
则 AO = xAB+yAC = xAB + 2y AP，因为 x + 2y = 1，则，O，B，P三点共线（证明在后面）
因为OBP共线，所以，B在AC的中垂线上，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=BC=2,且三角形ABP为直角三角形。
所以cosBAC = AP/AB = 1.5/2 = 3/4

三点共线的证明
另 2y = z, 则 x+ z = 1（x,z 不等于0）
AO = xAB + z AP = xAB + (1-x)AP = AP + x(AB - AP) = AP +xPB
=> AO-AP = xPB
=> PO = xPB
=> 因为 x 不等于0，z也不等于0 =>向量PB和向量PO 共线
=>又因为向量PB,PO共起点P，所以，P,B,O三点共线。

这个三点共线的时高考必会出现的。当做定理记住，选填题可以直接用，大题记得写证明过程。
当 OA = xOB+(1-x)OC (x不等于0)时，A,B,C三点共线。