Question

数学高考题！求解！！！

已知圆O的半径为1，PA.PB为该圆的两条切线，A.B为两切点，那么PA的向量乘以PB的向量的最小值为多少？？求详解过程啊！！！

Answer 1

同学你好，我是来自新东方优能学习中心的老师周帅；希望接下来的回答能够对你有所帮助。

以上40°半 | 二级 | 2011-4-18 18:54的回答提到了向量点乘的公式，并利用了三角函数的值域；但显然的是忽略了两个基本问题：一、PA、PA的长度不是半径，所以不一定是1；二、当PA和PB都是切线时，这两个向量的夹角显然不可能为180度，即余弦不会是-1。另，点乘符号不能用“×”表示

我们的解决方案如下，依然使用点乘公式：（解答过程中PA，PB均表示向量）
设∠APB=θ ，因为圆心与切点的连线长度为半径且与切线垂直，故|AO|=|BO|=1;
∠APO=∠BPO=θ/2，分别在两个直角三角形中使用正切的三角函数，
可得|PA|=|PB|=1/tan(θ/2)，由点乘公式可得：PA·PB=|PA|·|PB|·cosθ，
带入可得：=cosθ/[tan(θ/2)·tan(θ/2)]，再由三角变换的倍角公式或万能公式可得：
cosθ=[1-tan(θ/2)·tan(θ/2)]/[1+tan(θ/2)·tan(θ/2)]，带入化简得（令t=tan(θ/2)）
PA·PB=[1/t^2-1]/[1/t^2+1]，此函数在(0,+∞)上是关于1/t^2的增函数，根据反比例函数的图像可以得出-1<PA·PB<1。
如果没有其他附加条件，应该是这个结果。如果有，请参考加入。
祝你取得好成绩。

Answer 2

PA×PB=｜PA｜×｜PB｜×cosα,PA=1,PB=1，cosα的最小值为-1，所以最小值为1×1×-1=-1
望采纳

Answer 3

呵呵，不知道。我才初三
祝你早日解出该难题，