Question

f(x)=x^2-2aInxcoskπ,当k=2010,f(x)=2ax有唯一解,求a 两种方法求解

a>0,不离求导的方法，但是又和常规方法不太一样，是一个经典题型

Answer 1

由于k=2010为偶数，所以，f(x)=x^2-2alnx，又f(x)=2ax，故x^2-2alnx-2ax=x^2-2ax-2alnx=0。
上式看成x的二次方程。由于只有唯一解，所以，令λ=lnx，Δ=4a^2+8aλ=4a(a+2λ)=0。
显然当a=0或a=-2λ时有唯一解，且当a=0是唯一解为x=0；
当a=-2λ时，二次方程化为：x^2+4λx+4λlnx=x^2+4λx+4λ^2=0即，x=-2lnx=-2λ=a。
即，当a=0或a=-2λ时有唯一解，且分别为0和方程x=-2lnx的解。
如果限定a>0，则方程的唯一解即为方程x=-2lnx的解，且a必为-2lnx，虽然这个具体的x值不那么容易算，但答案是无误的，而这个方法根本不用求导。
另一种方法思考中。

追问

问题是a大于零，而且In里面的x是大于零的，如果x=-2Inx，那么x就必为负，绝对要舍去。
anyway，thank you

追答

x>0不意味着lnx>0。
当01时，lnx>0。
这里的x<1的，所以x=-2lnx可以成立，最后的解不好求，可以用逼近法求，我的解是x=0.70347左右。
可以从x=0.703开始递推，x(n)=-2ln(x(n-1)+b10-4+c10-5+d10-6+...)，首先逼近求b，当增加b到某个值时x(n)会相比x(n-1)小，于是该停止增加b，然后进一步确定c,d,e,...。
我用Hexelon计算的结果是：0.703467422498391670。
大概手工用了几分钟吧。你可以试试。

追问

我用求导方法通过极值点与换元得出的a=1/2，但是想不出第二种方法，
为什么可以直接将2aInx视为c，这种方法感觉不怎么可靠啊

追答

我重新论证了一下，你说得对，这样是不行的。
但是，有一点可以肯定，x>0不意味着lnx>0。当01时，lnx>0。
这里重给答案如下：
沿用前面的方法，令g(x)=x^2-2alnx-2ax=x^2-2a(lnx+x)。
因为lnx≤x-1，仅当x=1时取等号，于是lnx+x≤2x-1。即g(x)≥x^2-2a(2x-1)=(x-2a)^2+2a(1-2a)。
又由于g(x)=0有唯一解，且a>0，仅当g(x)仅当x=2a时取得最小值，此时要g(x)=0，必有1-2a=0，即a=1/2，且x=1为所求唯一解。
否则，又两种情况，即a0，因而g(x)>0，无解；
或者，a>1/2，此时2a(1-2a)<0，若要g(x)=0，则x必有两个解，矛盾。
解毕。